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[2022 봄호] 1-목표는 가깝게, 꿈은 크게

  • 김도영
  • 2022-07-01 07:03:26

2022 SPRING 알스토리

목표는 가깝게, 꿈은 크게

기나긴 겨울이 지나고 어느덧 따스한 봄이 왔네요. 봄은 우리를 들뜨게 하는 계절인 것 같아요. 우리가 가는 길 앞에는 무엇이 있을지 알 수 없지만, 그 알 수 없음이 우리를 더 설레게 만들죠. 여러분들은 새로운 한 해를 잘 시작하셨나요? 더 나아가, 후회 없는 학교 생활을 보내고 계시나요? 이번 알스토리에서는 저의 경험을 바탕으로 한 목표와 꿈, 그리고 인생 이야기를 들려드리고자 합니다.

# 소소한 목표 세우기

고등학교 때 저는 공부를 열심히 하면 좋은 대학교에 갈 수 있으리라 생각하던 학생이었어요. 그래서 ‘공부’를 힘들지만 해야 하는 일 중 하나로 보았고, 이렇게 힘든 일로만 생각하다 보니 갈수록 공부에 손을 놓게 되었어요. 계획 없는 삶을 살았던 것이죠. 마침내 성적이 나오는 날, 난생처음 보는 숫자들과 마주하게 되었고, 충격을 받은 저는 생활 패턴을 바꾸어보기로 했어요. 공교롭게도 그 시기에 학교에서 전교생에게 플래너를 나눠주었는데, 저는 이것을 기회라 생각하고 플래너를 이용해서 매일매일 알찬 삶을 살아가 보기로 다짐했습니다. 하지만, 제 계획은 생각만큼 잘 풀리지 않았어요. 플래너에 있는 모든 일들을 해결하지도 못한 채 하루를 마무리하는 일이 자꾸 발생했어요. 점차 스트레스도 쌓여 갔죠. 하루는 우연히 친구가 같은 플래너를 들고 다니는 것을 봤어요. 친구의 플래너를 열어보았을 때, 놀랍게도 그곳에서 해결책을 찾을 수 있었습니다. 특이하게도 친구의 플래너는 곳곳이 비어있었는데, 이를 보고 무조건 많은 일을 하는 것만이 정답은 아니라는 사실을 깨달았습니다. 그러고는 목표를 계획하는 방식을 바꾸어보았죠. 우선 할 일을 무리할 정도로 많이 계획하지 않고, 반드시 해야 할 일들의 경우 예상 시간을 고려하여 그것보다 넉넉하게 일정을 잡아서 하루를 계획해나갔어요. 예를 들어 예상 소요 시간이 3시간인 과제가 있었다면, 넉넉하게 5시간을 부여하고 다른 일정들도 비슷한 방식으로 계획했죠. 막상 보기에는 큰 차이가 없어 보였지만, 저에게는 굉장히 많은 변화가 생겼습니다. 우선 시간이 넉넉하다 보니 일을 하는 과정에 있어서 여유를 가지고 할 수 있었어요. 심리적으로 여유를 가지니 계획했던 일들도 더 수월하게 해결할 수 있었고, 세워두었던 목표들을 차근차근 이루어나가면서 성취감도 얻었죠. 이렇게 즐겁게 목표를 향해 달려가니까 결과적으로 하루도 잘 마무리할 수 있었어요.

# 꿈으로의 전진

이런 과정을 겪으면서 느꼈던 점은, 목표를 최대한 나와 가까이해야 한다는 것이었어요. 터무니없이 먼 목표는 오히려 저를 무기력하고 지치게 만들었기 때문이죠. 하지만 모순되게도, 저는 머나먼 목표를 세우는 것 역시도 반드시 필요하다고 생각해요. 우리가 계속 가까운 목표만을 좇다 보면, 궁극적으로 무엇을 해야 하는지 혼란이 올 수도 있거든요. 저는 머나먼 목표를 세우는 것의 연장선이 곧 꿈을 가지는 것이라고 생각해요. 우리가 꿈을 가지게 된다면, 중간중간 힘든 과정에서도 다시 일어날 수 있는 원동력을 얻을 수 있고, 계속해서 앞으로 나아갈 수 있답니다. 저 역시도 고등학교 3학년 시절에 대학을 목표로 플래너를 이용하며 공부를 해나갔었는데, 막상 대학에 합격하고 나니 이제 무엇을 해야 하는지 감이 잡히지 않더라구요. 그래서 이후 저는 제 꿈에 대해서 고민해 보았고, 기쁘게도 지금은 응용 수학, 금융 수학 분야에 기여하며 사회에 긍정적인 영향을 끼치고 싶다는 꿈을 가지고 열정적으로 대학 생활을 해나가고 있답니다. 이 글의 제목인 ‘목표는 가깝게, 꿈은 크게’는 제가 하고 싶었던 모든 말들을 내포하고 있어요. 가까운 목표와 큰 꿈은 서로 부족한 부분을 충족시켜주며 우리가 삶을 즐길 수 있도록 도와준답니다. 여러분들은 어떤 목표와 꿈을 가지고 있나요? 딱히 생각해 보지 않았다면, 지금이라도 늦지 않았으니 꼭 고민해 보는 것을 추천해요. 그리고 그 꿈을 위해, 소소한 목표들을 이루어 나가며 조금씩 앞으로 나아가는 거예요. 이 글을 읽는 모든 포스테키안 구독자분들이 자신만의 꿈을 이루어 나갈 수 있기를, 제가 항상 응원하겠습니다!


ALIMI 27기 무은재학부 김도영

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[2021 겨울호] 3-어떻게 막는가? : 백신과 집단 면역

  • 김도영
  • 2022-02-18 07:01:53

2021 WINTER 기획특집 3

어떻게 막는가? : 백신과 집단 면역

With Corona


지금까지 백신이 우리 몸에 어떤 영향을 끼치고, 어떻게 접종되는지 알아보았습니다.
백신은 우리가 전염병에 저항하도록 도와주는 중요한 도구라고 할 수 있습니다.
최근에도 많은 사람이 백신을 접종하고 있죠. 그런데, 유전적인 이유나 의학적인 이유 등으로 백신을 맞지 못하는 사람들도 있습니다.
이 사람들을 전염병으로부터 어떻게 보호할 수 있을까요? 더 나아가, 한 사회에서 우리는 어떻게 전염병을 퇴치할 수 있을까요?
그 해법은 바로 집단 면역에 있습니다.

집단 면역이란?

전염병에 걸렸던 사람이나, 백신을 접종한 사람은 그 전염병에 대한 면역을 획득합니다. 만약 사회의 전체 구성원 중 대다수가 특정 전염병에 대한 항체를 가지고 있어 면역을 획득한 상태일 때, 전염병은 어떻게 확산할까요? 당연히 모든 구성원이 면역을 가지고 있지 않을 때보다 덜 확산할 것입니다. 이렇듯 사람이 가진 항체로 인해 면역을 가지지 않은 사람에게도 전염병을 예방하는 효과가 나타나 전염병 유행을 저지할 수 있는데, 이를 집단 면역이라고 합니다. 또한, 사회의 전체 구성원 중 면역을 가진 사람의 비율을 면역도라고 정의합니다. 이때, 집단 면역이 작동될 수 있는 최소의 면역도, 즉, 특정 전염병을 억제하기 위해 면역을 획득해야 할 사람의 비율면역 역치Herd Immunity Threshold라고 합니다.

집단 면역의 효과
집단 면역은 1923년에 최초로 언급된 개념이지만, 이후 홍역에 대해 연구하는 과정에서 멀리 퍼져나갔습니다. 초기에는 집단 면역을 단순히 자연적으로 생기는 현상으로 생각했지만, 백신이 개발되면서 인위적으로 면역을 획득하여 면역도를 올릴 수 있게 되었고, 집단 면역을 획득할 수 있게 되었습니다.

집단 면역의 분석을 위한 도구, 기초감염재생산수

그렇다면 면역 역치는 어떻게 구할 수 있을까요? 면역 역치를 구하기 위해서는 기초감염재생산수Basic Reproduction Number라는 개념이 필요합니다. 기초감염재생산수는 감염병이 전파되는 속도를 수치화한 것이라고 할 수 있는데요. 구체적으로는 면역이 없는 인구 집단에 첫 감염자가 발생하였을 때, 첫 감염자를 통해 추가로 몇 명의 감염자가 발생하는지를 나타내는 수치이며, 기호로는 $R_{0}$이라고 표기합니다. 즉, 어떤 전염병의 $R_{0}$ 값이 높으면 그 병은 전염성이 높다고 할 수 있는 것이죠. 2011년 미국감염병학회IDSA 학술지에 게재된 논문인 “집단 면역에 대한 대략적 지침”에서 따르면, 면역 역치는 $1-\frac{1}{R_{0}}$로 구할 수 있습니다. 현재 유행 중인 코로나바이러스의 경우 $R_{0}$ 값이 3~5 정도인 것으로 알려져 있는데, 이 값을 토대로 면역 역치를 계산해보면 66.7%~80%가 됨을 알 수 있습니다. 이론적으로 인구의 80%가 코로나19에 면역을 가진다면, 집단 면역을 가질 수 있는 것입니다. 하지만 코로나19는 여러 형태의 변이 바이러스를 가지고 있기에 $R_{0}$의 값이 정확하다고 보기 힘들고, 다른 고려해야 할 요소가 많습니다.

다양한 코로나바이러스 백신 유효율 및 특징
기초감염재생산수에서 나아가 면역 역치를 더 정확히 구할 수 있는 지표가 있는데, 바로 백신 유효율입니다. 백신 유효율은 백신을 맞은 사람이 그렇지 않은 사람보다 전염병으로부터 얼마나 덜 감염되는지를 수치화한 지표로, 기호로는 $V_{e}$를 사용합니다. 백신 유효율까지 고려하면 면역 역치는 어떻게 나타날까요? 특정 전염병의 백신 유효율을 $V_{e}$라고 가정하면, 백신을 맞은 전체 인구 중 $V_{e}$만큼이 면역을 가진다는 뜻이기 때문에, 기존의 면역 역치 값에서 $V_{e}$를 나누어주어야 합니다. 즉, $\left ( 1-\frac{1}{R_{0}} \right )\times \frac{1}{V_{e}}$를 계산해주면 면역 역치를 최종적으로 구할 수 있죠. 백신 유효율까지 고려해서 코로나바이러스의 면역 역치를 다시 계산하면 어떻게 될까요? 코로나바이러스의 경우, 화이자와 바이오엔테크가 개발한 mRNA 백신인 BNT162가 약 95%의 유효율을 가지고 있다고 합니다. 실제로는 다른 백신을 맞은 사람들도 많겠지만, 편의를 위해 백신을 맞은 모든 사람들이 이 백신을 맞았다고 가정해봅시다. 기존의 면역 역치 값에서 0.95를 나누어 최종적으로 코로나바이러스의 면역 역치를 다시 계산해보면, 70.2%~84.2%라는 값이 나오게 됩니다.

면역 역치를 통해서 우리는 집단 면역이 이루어지려면 얼마나 많은 사람들이 백신을 맞아야 하고, 얼마만큼의 항체를 형성해야 하는지를 알 수 있었습니다. 하지만 면역 역치를 통해서는 전염병 전파의 자세한 과정을 알 수 못합니다. 만약 전염병이 전파되는 상세한 양상을 알고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 전염병 모형은 바로 이 문제에 대한 해답을 제공합니다.

전염병 확산의 수학적 분석, 전염병 모형

전염병 모형은 특정 병원체나 병원체의 독성 물질 때문에 일어나는 전염병의 확산 양상을 나타낸 것으로, 사람을 여러 가지 집단으로 나누고 그 집단에 속한 사람의 수의 변화를 보여줍니다. 첫 전염병 모형은 스위스의 수학자인 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)로부터 비롯되었습니다. 베르누이는 천연두 예방 접종의 효과를 입증하기 위해 천연두의 발생률과 사망률에 관한 내용을 다룬 자료들을 분석하여 이를 토대로 모형을 만들었으며, 이 모형으로 천연두 예방 접종이 기대 수명을 26세 7개월에서 29세 9개월로 늘릴 수 있다는 것을 보여주었습니다. 본격적으로 전염병 모형을 수식으로 표현해낸 시기는 1972년으로, 스코틀랜드 수학자 윌리엄 컬맥(William Kermack)과 역학자 앤더슨 맥켄드릭(Anderson McKendric) 박사는 사회적 상호작용을 보여주는 그래프 이론과 행렬을 이용하여 감염 가능군Susceptible, S감염군Infectious, I, 그리고 회복군Removed, R 사이에서 전염병이 어떻게 확산하는지를 보여주는 SIR 모형을 제시했고, 그 이후 다양한 모형들이 등장했습니다.

다양한 전염병 확산 모형들
SIR 모형과 다른 모형들의 경우, 미분 방정식을 통해 표현할 수 있습니다. 이때, 크게 두 가지의 가정을 사용하는데요. 전염병에 걸리는 사람 수는 감염 가능군과 감염군의 사람 수의 곱에 비례한다는 것전염병으로부터 회복되는 사람 수는 감염군에서의 사람 수와 비례한다는 것입니다. 전체 모집단의 크기를 $M$이라고 하고 $t$라는 특정 시간이 지난 지점에서 각각의 감염 가능군, 감염군, 회복군의 크기를 $X(t), Y(t), Z(t)$로 표현한다면, $X(t)+Y(t)+Z(t)=M$이라는 식이 성립합니다. 미분 방정식으로 표현하기 위해서는 각 군의 상태를 $M$에 대한 비율로 바꾸어서 표현해야 하므로, $x(t)=\frac{X(t)}{M}, y(t)=\frac{Y(t)}{M}, z(t)=\frac{Z(t)}{M}$로 정의합니다. 그리고 전염병에 걸릴 확률인 감염률을 $\lambda$, 전염병으로부터 회복될 확률인 회복률을 $\gamma$라고 하면 다음의 미분 방정식들을 얻을 수 있습니다.

$$\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}=-\lambda x(t)y(t)$$ $$\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}=\lambda x(t)y(t)-\gamma y(t)$$ $$\frac{\mathrm{d} z(t)}{\mathrm{d} t}=\gamma y(t)$$

SIR 모형은 전염병의 잠복기까지는 고려하지 못했다는 한계점을 가지고 있습니다. 이 한계를 극복하고자 등장한 모형이 바로 SEIR 모형입니다. SEIR 모형은 기존의 SIR 모형에서 감염 가능군에서 감염이 되어 감염군으로 이동하는 과정에서 잠복기Exposed, E를 추가한 모형으로, 이 모형에서는 감염 상태에서 확진 환자로 전환될 확률인 잠복률이 일정하다는 가정이 추가됩니다. 잠복기인 사람의 수를 $E(t)$라고 하여 $e(t)=\frac{E(t)}{M}$로 정의하고 잠복률을 $\beta$라고 하면 SEIR 모형을 표현하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

$$\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}=-\lambda x(t)y(t)$$ $$\frac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t}=\lambda x(t)y(t)-\beta e(t)$$ $$\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}=\beta e(t)-\gamma y(t)$$ $$\frac{\mathrm{d} z(t)}{\mathrm{d} t}=\gamma y(t)$$

흥미로운 사실은, 앞에서 집단 면역을 분석하기 위해 중요하게 사용되었던 기초감염재생산수 $R_{0}$가 바로 $\frac{\lambda}{\gamma}$라는 것입니다. 즉, 감염률과 회복률을 구함으로써 우리는 적합한 미분 방정식을 세울 수 있고, 이를 풀어 시간에 따른 전염병의 확산 양상을 예측할 수 있죠.

전염병의 확산 양상을 예측하는 구체적인 과정이 궁금하다면?

데이터 분석과 시뮬레이션으로 예측하는 코로나19 확산



이렇게 백신을 접종하지 못한 사람들을 보호할 수 있는 집단 면역과 미분 방정식을 통해, 다가올 미래를 대비할 수 있도록 돕는 전염병 모형을 알아보았습니다.
실제로 우리나라의 많은 수학자, 과학자 분들께서 코로나바이러스가 등장한 이후 바이러스의 확산을 예측하는 모형을 연구하셨고,
이를 참고하여 정부가 방역 정책을 펼치고 있습니다.
지금도 많은 분들이 코로나바이러스로 인한 현재의 위기를 극복하기 위해 노력하고 계시는데요.
집단 면역에 성공하여 일상을 되찾을 그날을 기대하고 있겠습니다!



[참고문헌]
1. 기현균, 「COVID-19 예방접종과 집단 면역」, 『The Journal of Korean Diabetes』, 2021.10.20, https://doi.org/10.4093/jkd.2021.22.3.179
2. 임해원, 「[팩트체크] 집단 면역 60%, 코로나19 방패될까」, 『이코리아』, 2020.03.24, https://www.ekoreanews.co.kr/news/articleView.html?idxno=42996
3. 이상구, 고래영, 이재화, 「신종 인플루엔자의 수학적 모델링」, 『한국수학교육학회지. 시리즈 E: 수학교육논문집』 제24권 제4호 (2010년), 877-889쪽.
4. 류수락, 최보승, 「확률적 방법에 기반한 질병 확산 모형의 구축」, 『한국데이터정보과학회』 제26권 제2호 (2015년), 301-312쪽.

ALIMI 27기 무은재학부 김도영

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[2021 가을호] 3 - 물리학과가 본 올림픽

  • 김도영
  • 2021-12-24 07:02:36

2021 AUTUMN 공대생이 보는 세상 3

물리학과가 본 올림픽
Dept. of Physics





물속에서 기록을 경쟁하는 수영은 하계 올림픽의 꽃 중 하나라고도 볼 수 있지!

그런데 선수들은 어떻게 기록을 단축할까? 여러 방법이 있지만, 특히 잠영(잠수 영법)이 중요해. 실제로 선수들이 경기할 때를 보면, 항상 잠영한 후에 다양한 영법을 이용하여 수영하는 것을 볼 수 있어. 그 이유는 잠영이 다른 수영 영법보다 빠르기 때문이야. 그렇다면 왜 잠영이 다른 수영 영법보다 빠른 것일까?

가장 빠른 수영 영법, 잠영

선수들은 잠영할 때 돌핀킥 Dolphin Kick을 이용해. 돌핀킥은 스타트나 턴 이후 두 손과 발을 모아 돌고래처럼 위아래로 치고 나가는 영법이야. 이 돌핀킥에 대한 연구는 돌고래를 관찰하면서 시작되었다고 해. 그 첫 번째로, 과거 돌고래의 속도에 관해 연구하던 동물학자 제임스 그레이(James Gray)는 돌고래에 관한 흥미로운 사실을 발견했어. 돌고래는 물속에서 시속 20마일(20mile) 이상의 빠른 속도로 헤엄칠 수 있는데, 이론적으로 돌고래의 근육은 이 속도를 내도록 할 수 있는 에너지를 만들지 못한다는 사실을 발견한 거야. 그래서 그레이 교수는 돌고래의 피부에는 항력 Drag을 줄이는 특별한 특성이 있어야 한다고 주장했지. 이는 후에 그레이의 역설 Gray's Paradox로 불리게 되었어.

그레이의 역설을 통해 밝혀낸 잠영의 비밀

그레이의 역설은 72년후에 미국 한 연구팀의 실험 결과에 의해 해결되었어. 연구팀은 항공우주 연구를 위해 개발된 힘 측정 도구와 초당 1,000개의 비디오 프레임 Frame을 캡쳐할 수 있는 디지털 입자 이미지 속도계 Particle Imaging Velocimetry의 기술을 결합하여 돌고래가 꼬리를 퍼덕일 때의 힘을 측정했어. 그러자 놀라운 결과가 나왔는데, 꼬리를 퍼덕일 때마다 평균 200파운드힘(200lbf)을 생성한다는 거야! 이 힘은 역도 선수가 약 100kg의 바벨을 들 때 드는 힘 정도로 비유할 수 있어.
그림 1. 연구팀이 촬영한 돌고래 ‘프리모’와 주변 물의 흐름을 시각화한 모습
우리들의 잠영 역시 돌고래와 비슷한 원리를 가지고 있어. 앞에서 설명한 추진력에 더해서, 수영할 때 생기는 저항인 파도 저항까지 줄일 수 있기 때문에 잠영은 수영 영법 중 가장 빠른 영법이라고 할 수 있지. 그럼 나는 수영 경기를 마저 보러 가야겠다. 안녕!!

ALIMI 27기 무은재학부 김도영

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