연속 방정식은 저번 호 지식더하기에서 다뤘던 편미분항을 포함한 미분방정식으로, 유체에서의 연속 방정식은 유체의 운동을 기술합니다. 질량 보존의 법칙에 의해 들어오는 유체와 나가는 유체의 양이 같다는 것을 수학적으로 표현합니다. 이 유체가 비점성이며 비압축성 유체이고, 유체가 1초에 흐르는 양이 균일한 정상 상태Steady State이며 입구와 출구가 각각 1개인 상황이라고 생각해 봅시다. 이때 들어오고 나가는 유체의 양을 단위 시간당 통과하는 유체 부피로 정의하는 체적 유량Volume Flow Rate은 면적과 유체의 속도의 곱인 $Av$로 표현됩니다. 밀도가 동일하므로 질량이 보존된다는 것은 단위 부피가 보존된다는 것이기 때문에 체적 유량이 동일한 ${A_1}{v_1} = {A_2}{v_2}$을 알 수 있습니다. 일반적인 연속 방정식 $\frac{\partial \phi}{\partial t}+\triangledown\cdot f = s$ 에서 $f$는 유량Flux을 뜻하며, 유체에서는 단위 시간 동안 이동한 유체의 부피를 의미합니다. 유체의 연속 방정식이므로, $\phi$는 물리량 중 밀도 $\rho$, $f$ 는 속도 $v$로 흐르는 유체의 양인 $\rho v$로 나타납니다. 질량 보존의 법칙에 의해 유체의 연속 방정식은 $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\triangledown\cdot(\rho v) = 0 $으로 일정하다는 것을 알 수 있겠죠. 만약 밀도가 일정하지 않지만 정상 상태인 비압축성 유체 조건을 추가하면, 시간당 밀도의 변화량은 없고 체적 유량도 일정하기 때문에 $\frac{\partial \rho}{\partial t}= 0$, $\triangledown\cdot(\rho v) = 0$으로 각 항이 0임을 알 수 있지만 $\triangledown\cdot v = 0$인지는 이 조건에서 확실히 알 수 없는 것이죠.


지금까지 유체에 작용하는 힘과 유체의 운동까지 알아보았는데요. 더 나아가 공부해 보고 싶은 친구들은 유체의 에너지 보존을 기술하는 오일러 방정식과 베르누이 방정식, 실생활 속 마그누스 효과까지 찾아본다면, 더 흥미로운 내용을 알 수 있을 거예요!