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[2021 겨울호] 1-편미분과 기울기 벡터

  • 노유성
  • 2022-04-08 07:00:48

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편미분과 기울기 벡터

Partial Derivative & Gradient Vector

여러분에게 미분이란 어떤 존재인가요?
우주는 미분으로 쓰여있다는 유명한 교수님의 말처럼 미분을 조금만 들여다보면,
단순히 계산을 넘어 우리가 살아가는 세상을 설명하고 있다는 걸 느낄 수 있습니다.
여러분에게 익숙한 2차원상의 미분에서 뻗어 나가 편미분을 배워보고,
미분이 세상을 설명하는 한 가지 예시인 기울기 벡터까지 알아봅시다!

먼저, 여러분에게 익숙한 미분을 다시 정리해봅시다. ‘어떤 함수를 미분한다’라는 말은 무슨 뜻일까요? 바로 ‘어떤 함수의 도함수, 즉 순간변화율을 구하는 것’이죠. 여기서 순간변화율은 우리가 기울기를 구하는 식에서 그 의미를 명확하게 알 수 있습니다. $x$에 대한 함수 $f(x)$에 대해서, 두 점 $(a,f(a))$,$(b,f(b))$사이의 기울기는 다음과 같은 식으로 구할 수 있죠. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 바로 이 식에서 b가 a에 한없이 근접하게 되면, 해당식은 마치 a점에서의 순간적인 변화율을 구하는 것으로 바뀝니다. 식으로 일반화하면, 극한을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.


$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$


위에서 구한 순간변화율의 식은 2차원에서 미분함으로써 얻은 결과인데요. 우리가 사는 3차원에서 미분을 하기 위해선 어떻게 해야 할까요? 우선, 3차원 공간에 변수가 2개인 함수 $z=f(x,y)=x^2+y^2$가 존재한다고 합시다. 이를 $xy$평면에 이를 나타내면 다음과 같습니다.
그림 1. $xy$평면에서 본 $f(x,y)$

이때, $z=f(x,y)$에서 $y=2$인 면 위의 임의의 점 $x$에서의 순간변화율은 위에서 구한 식에 대입하면 구할 수 있습니다.

그림 2. $xy$평면에서 본 $z=f(x,y)$, $y=2$


$\frac{f(x+h,2)-f(x,2)}{h}$


이를 그래프로 나타내면, 다음과 같이 $z=f(x,y)$와 $y=2$가 만나면서 생기는 교선, $z= x^2+4$가 그려집니다. 그리고 앞서 구한 순간변화율은 $z=x^2+4$ 위 임의의 $x$에서의 순간변화율을 의미하기 때문에 그 값은 $x^2+4$를 $x$에 대해서 미분한 값인 $2x$가 됩니다.

그림 3. (좌) 3차원에서 본 $z=f(x,y)$와 $y=2$의 교선, (우) $xz$평면에서 본 모습

이렇게 우리에게 익숙한 것에서 차원만 하나 확장했을 뿐인데 여기서 편미분에 대한 개념을 알 수 있습니다. 편미분 Partial Derivative 이란, 앞서 살펴본 $f(x,y)=x^2+y^2$와 같이 변수가 둘 이상인 다변수 함수에서 하나의 변수를 제외한 나머지 변수들을 모두 상수 취급하고, 그 변수에 대해서 미분하는 것을 말합니다. 즉, 앞서 $y=2$라는 평면과 $z=f(x,y)$의 교선을 구하고 그 교선에서의 순간변화율을 구하는 과정이 바로 다변수 함수 $f(x,y)$에서 $y$를 상수 취급하고 $x$에 대해서 미분하는 편미분이었습니다. 이를 변수가 2개인 함수에 대해 일반화하면 다음과 같습니다.


$f_x=\frac{∂f}{∂x}=\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

$f_y=\frac{∂f}{∂y}=\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$


즉, 어떤 변수에 대해 미분할지에 따라 결과가 달라질 수 있습니다. 기호 ∂는 ‘라운드’ 또는 ‘델’ 등으로 읽으며, 우리가 아는 미분 기호인 $d$와 편미분을 구분해 주기 위해서 사용합니다. 또한, 다변수 함수 $f(x,y)$를 $x$에 대해서 편미분한 결과인 $\frac{∂f}{∂x}$(또는 $f_x$)를 $x$에 대한 $f(x,y)$의 ‘편도함수’라고 정의합니다. 그렇다면, 앞서 배운 편미분을 이용해 개념을 확장해 봅시다. 먼저, 다변수 함수 $f(x,y)= x^2+y^2$를 $x$,$y$에 대해서 각각 편도함수를 구해주면, $f_x=2x$,$f_y=2y$입니다. 이들을 각각 $x$방향 성분, $y$방향 성분으로 가지는 벡터를 기울기 벡터 Gradient라고 합니다. 어떤 함수 $f$의 기울기 벡터를 얻는 연사자로는 ∇을 사용하며, ‘델’ 또는 ‘나블라’라고 읽습니다. 정리하면, 다변수 함수 $f(x,y)$의 기울기 벡터 $∇f(x,y)=f_x î + f_y ĵ$ ($î$, $ĵ$는 각각 $x$, $y$방향의 단위벡터)입니다. 앞선 예에서 함수 $f(x,y)$의 기울기 벡터를 구하면, ∇$f(x,y)=2xî+2yĵ$입니다. 이를 아래와 같이 $xy$평면 위에 나타낼 수 있습니다.

그림 4. (좌) 3차원에서 본 $z=f(x,y)$, (우) $xy$평면 위에 나타낸 ∇$f(x,y)=2xî+2yĵ$

위에 제시된 두 그림을 함께 보면 알 수 있듯이, 각 점에서 기울기가 가장 가파른 방향으로 벡터가 향한다는 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 스칼라 함수인 $f(x,y)$로부터 편미분을 통해 기울기 벡터를 얻어냄으로써 3차원상에서 의미 있는 값으로 활용할 수 있습니다. 지금까지 여러분에게 익숙한 미분에서 편미분으로, 편미분에서 기울기 벡터로 두 번의 확장을 통해 생소한 개념을 배워봤는데요. 혹시 편미분과 기울기 벡터와 관련지어 다차원의 미분에 대해 더 공부해보고 싶은 친구들은 Del Operator, 발산 Divergence 그리고 회전 Curl을 공부해 보는 걸 추천할게요!

다차원의 미분에 대해 더 알아보고 싶다면?
연산자 델의 정의와 연결된 개념 알아보기


[1]  https://blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=dydrogud22&logNo=220226625426
[2] https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/gradient.html


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