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[2021 겨울호] 1-수학과가 본 겨울나기

  • 유현아
  • 2022-02-25 06:59:25

2021 WINTER 공대생이 보는 세상 1

수학과가 본 겨울나기
Dept. of Mathematics





역시 구운 고구마를 데우니까 따듯해지네

아, 그런데 고구마에 열을 가한 건 한 부분인데 어떻게 모든 부분이 따듯해질 수 있는 걸까?

열 방정식과 변수

열은 한 공간에서의 온도 분포로 정의되어 일정한 식에 의해 시간에 따라 전도되는데, 이 과정을 수식화한 것을 열 방정식 heat equation 이라고 해. 열역학 제2법칙에 따르면 열은 고온에서 저온으로 흐르고, 그러한 열의 전달 방법인 전도는 중간물질을 통해 열이 전달되는 방법이야. 각 중간물질은 고유한 열전도율 thermal conductivity을 가져서 같은 열을 받았을 때 전달하는 열의 크기가 달라져. 온도가 변하는 속도는 시간에 대한 함수로, 시간에 대한 편미분에 비례해. 온도가 변하는 방향은 공간에 대한 함수로, 공간의 상대적인 온도 분포에 따라 온도가 높은 부분은 온도가 내려가고 낮은 부분들은 올라가면서 열이 이동해. 상대적인 온도 차이는 공간의 2차 미분계수인 $u^{''}$이 0이 되는 변곡점을 통해 파악할 수 있는데, 온도 기울기가 오목하면 $u^{''}>0$ 이고 볼록하면 $u^{''}<0$ 야.



다차원 공간에 대한 열 방정식

이 과정을 쇠막대 같은 1차원 공간에 대해 수식으로 표현해 보면, 온도 분포는 공간과 시간에 따라 달라지기 때문에 공간에 대한 변수 $x$와 시간에 대한 변수 $t$로 $u(x,t)$라고 쓸 수 있어. 열이 이동하는 속도는 $\frac{∂u}{∂t}=u_{t}$이고, 공간의 2차 미분계수는 $\frac{{∂^{2}}u}{∂{u^{2}}}=u_{xx}$로 표현돼. 결과적으로 열 방정식은 열전달률 D에 대해 $u_{t}=Du_{xx}$야. 이걸 3차원 공간이라고 생각하면 $x$,$y$,$z$ 좌표에 대한 편미분을 하므로 $u_{t}=D({u_{xx}}+{u_{yy}}+{u_{zz}})$로 쓸 수 있고, n차원 공간까지 확대해보면, $u_{t}=D({u_{{x_{1}}{x_{1}}}+⋯+u_{{x_{n}}{x_{n}}}})$으로 나타내게 되는 거야. 아래의 그림은 3차원 공간일 때, 특정 온도 분포를 나타낸 그림으로 시간이 지나면 왼쪽 윗부분은 내려가고, 오른쪽 밑부분은 올라가고 그 속도는 $u_{t}$에 비례해.

그림1. 3차원 공간의 온도 분포 예시

어때, 이렇게 식으로 표현해 보니 열이 어떻게 이동하는지 더 잘 알 것 같지? 난 고구마나 먹으러 가봐야겠다!

ALIMI 26기 전자전기공학과 유현아

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