전염병에 걸렸던 사람이나, 백신을 접종한 사람은 그 전염병에 대한 면역을 획득합니다. 만약 사회의 전체 구성원 중 대다수가 특정 전염병에 대한 항체를 가지고 있어 면역을 획득한 상태일 때, 전염병은 어떻게 확산할까요? 당연히 모든 구성원이 면역을 가지고 있지 않을 때보다 덜 확산할 것입니다. 이렇듯 사람이 가진 항체로 인해 면역을 가지지 않은 사람에게도 전염병을 예방하는 효과가 나타나 전염병 유행을 저지할 수 있는데, 이를 집단 면역이라고 합니다. 또한, 사회의 전체 구성원 중 면역을 가진 사람의 비율을 면역도라고 정의합니다. 이때, 집단 면역이 작동될 수 있는 최소의 면역도, 즉, 특정 전염병을 억제하기 위해 면역을 획득해야 할 사람의 비율을 면역 역치Herd Immunity Threshold라고 합니다.

집단 면역은 1923년에 최초로 언급된 개념이지만, 이후 홍역에 대해 연구하는 과정에서 멀리 퍼져나갔습니다. 초기에는 집단 면역을 단순히 자연적으로 생기는 현상으로 생각했지만, 백신이 개발되면서 인위적으로 면역을 획득하여 면역도를 올릴 수 있게 되었고, 집단 면역을 획득할 수 있게 되었습니다.

그렇다면 면역 역치는 어떻게 구할 수 있을까요? 면역 역치를 구하기 위해서는 기초감염재생산수Basic Reproduction Number라는 개념이 필요합니다. 기초감염재생산수는 감염병이 전파되는 속도를 수치화한 것이라고 할 수 있는데요. 구체적으로는 면역이 없는 인구 집단에 첫 감염자가 발생하였을 때, 첫 감염자를 통해 추가로 몇 명의 감염자가 발생하는지를 나타내는 수치이며, 기호로는 $R_{0}$이라고 표기합니다. 즉, 어떤 전염병의 $R_{0}$ 값이 높으면 그 병은 전염성이 높다고 할 수 있는 것이죠. 2011년 미국감염병학회IDSA 학술지에 게재된 논문인 “집단 면역에 대한 대략적 지침”에서 따르면, 면역 역치는 $1-\frac{1}{R_{0}}$로 구할 수 있습니다. 현재 유행 중인 코로나바이러스의 경우 $R_{0}$ 값이 3~5 정도인 것으로 알려져 있는데, 이 값을 토대로 면역 역치를 계산해보면 66.7%~80%가 됨을 알 수 있습니다. 이론적으로 인구의 80%가 코로나19에 면역을 가진다면, 집단 면역을 가질 수 있는 것입니다. 하지만 코로나19는 여러 형태의 변이 바이러스를 가지고 있기에 $R_{0}$의 값이 정확하다고 보기 힘들고, 다른 고려해야 할 요소가 많습니다.

기초감염재생산수에서 나아가 면역 역치를 더 정확히 구할 수 있는 지표가 있는데, 바로 백신 유효율입니다. 백신 유효율은 백신을 맞은 사람이 그렇지 않은 사람보다 전염병으로부터 얼마나 덜 감염되는지를 수치화한 지표로, 기호로는 $V_{e}$를 사용합니다. 백신 유효율까지 고려하면 면역 역치는 어떻게 나타날까요? 특정 전염병의 백신 유효율을 $V_{e}$라고 가정하면, 백신을 맞은 전체 인구 중 $V_{e}$만큼이 면역을 가진다는 뜻이기 때문에, 기존의 면역 역치 값에서 $V_{e}$를 나누어주어야 합니다. 즉, $\left ( 1-\frac{1}{R_{0}} \right )\times \frac{1}{V_{e}}$를 계산해주면 면역 역치를 최종적으로 구할 수 있죠. 백신 유효율까지 고려해서 코로나바이러스의 면역 역치를 다시 계산하면 어떻게 될까요? 코로나바이러스의 경우, 화이자와 바이오엔테크가 개발한 mRNA 백신인 BNT162가 약 95%의 유효율을 가지고 있다고 합니다. 실제로는 다른 백신을 맞은 사람들도 많겠지만, 편의를 위해 백신을 맞은 모든 사람들이 이 백신을 맞았다고 가정해봅시다. 기존의 면역 역치 값에서 0.95를 나누어 최종적으로 코로나바이러스의 면역 역치를 다시 계산해보면, 70.2%~84.2%라는 값이 나오게 됩니다.

면역 역치를 통해서 우리는 집단 면역이 이루어지려면 얼마나 많은 사람들이 백신을 맞아야 하고, 얼마만큼의 항체를 형성해야 하는지를 알 수 있었습니다. 하지만 면역 역치를 통해서는 전염병 전파의 자세한 과정을 알 수 못합니다. 만약 전염병이 전파되는 상세한 양상을 알고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 전염병 모형은 바로 이 문제에 대한 해답을 제공합니다.

전염병 모형은 특정 병원체나 병원체의 독성 물질 때문에 일어나는 전염병의 확산 양상을 나타낸 것으로, 사람을 여러 가지 집단으로 나누고 그 집단에 속한 사람의 수의 변화를 보여줍니다. 첫 전염병 모형은 스위스의 수학자인 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)로부터 비롯되었습니다. 베르누이는 천연두 예방 접종의 효과를 입증하기 위해 천연두의 발생률과 사망률에 관한 내용을 다룬 자료들을 분석하여 이를 토대로 모형을 만들었으며, 이 모형으로 천연두 예방 접종이 기대 수명을 26세 7개월에서 29세 9개월로 늘릴 수 있다는 것을 보여주었습니다. 본격적으로 전염병 모형을 수식으로 표현해낸 시기는 1972년으로, 스코틀랜드 수학자 윌리엄 컬맥(William Kermack)과 역학자 앤더슨 맥켄드릭(Anderson McKendric) 박사는 사회적 상호작용을 보여주는 그래프 이론과 행렬을 이용하여 감염 가능군Susceptible, S과 감염군Infectious, I, 그리고 회복군Removed, R 사이에서 전염병이 어떻게 확산하는지를 보여주는 SIR 모형을 제시했고, 그 이후 다양한 모형들이 등장했습니다.

SIR 모형과 다른 모형들의 경우, 미분 방정식을 통해 표현할 수 있습니다. 이때, 크게 두 가지의 가정을 사용하는데요. 전염병에 걸리는 사람 수는 감염 가능군과 감염군의 사람 수의 곱에 비례한다는 것과 전염병으로부터 회복되는 사람 수는 감염군에서의 사람 수와 비례한다는 것입니다. 전체 모집단의 크기를 $M$이라고 하고 $t$라는 특정 시간이 지난 지점에서 각각의 감염 가능군, 감염군, 회복군의 크기를 $X(t), Y(t), Z(t)$로 표현한다면, $X(t)+Y(t)+Z(t)=M$이라는 식이 성립합니다. 미분 방정식으로 표현하기 위해서는 각 군의 상태를 $M$에 대한 비율로 바꾸어서 표현해야 하므로, $x(t)=\frac{X(t)}{M}, y(t)=\frac{Y(t)}{M}, z(t)=\frac{Z(t)}{M}$로 정의합니다. 그리고 전염병에 걸릴 확률인 감염률을 $\lambda$, 전염병으로부터 회복될 확률인 회복률을 $\gamma$라고 하면 다음의 미분 방정식들을 얻을 수 있습니다.

SIR 모형은 전염병의 잠복기까지는 고려하지 못했다는 한계점을 가지고 있습니다. 이 한계를 극복하고자 등장한 모형이 바로 SEIR 모형입니다. SEIR 모형은 기존의 SIR 모형에서 감염 가능군에서 감염이 되어 감염군으로 이동하는 과정에서 잠복기Exposed, E를 추가한 모형으로, 이 모형에서는 감염 상태에서 확진 환자로 전환될 확률인 잠복률이 일정하다는 가정이 추가됩니다. 잠복기인 사람의 수를 $E(t)$라고 하여 $e(t)=\frac{E(t)}{M}$로 정의하고 잠복률을 $\beta$라고 하면 SEIR 모형을 표현하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

흥미로운 사실은, 앞에서 집단 면역을 분석하기 위해 중요하게 사용되었던 기초감염재생산수 $R_{0}$가 바로 $\frac{\lambda}{\gamma}$라는 것입니다. 즉, 감염률과 회복률을 구함으로써 우리는 적합한 미분 방정식을 세울 수 있고, 이를 풀어 시간에 따른 전염병의 확산 양상을 예측할 수 있죠.