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[2021 봄호] 1 - 슈뢰딩거 방정식

  • 김은진
  • 2021-06-25 13:00:37

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슈뢰딩거 방정식

Schrödinger Equation

여러분은 슈뢰딩거 방정식에 대해 들어보신 적이 있나요?
조금 어렵게 느껴지실 수도 있지만, 이번 호에서는 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation에 관해 이야기해 보려고 합니다.


우리는 빛이 파동성과 입자성을 함께 가지고 있다는 빛의 이중성에 대해 배우면서 이를 확장하여 전자와 같은 입자들도 파동의 성질을 가지고 있음을 알게 되었습니다. 기존의 고전역학에서는 좌표로 위치를 나타내고 질량(m)과 속도(v)로 입자의 상태를 나타냈는데요. 이러한 방식으로는 전자의 파동적 거동에 대해 정확히 설명할 수 없기 때문에 양자역학의 측면에서 바라본 슈뢰딩거 방정식을 도입하게 되었습니다.

슈뢰딩거 방정식의 모습을 먼저 살펴봅시다. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 시간 의존적인 방정식시간 독립적인 방정식이 있습니다.


시간 의존적 슈뢰딩거 방정식 : $(-ℏ^2/2m ∇^2 + V(r)) (r, t) = iℏ ∂ (r, t)/ ∂t$
시간 독립적 슈뢰딩거 방정식 : $(-ℏ^2/2m ∇^2 + V(r)) (r) = E (r)$


이 방정식은 미분 방정식이라 낯설게 느껴질 수도 있을 것 같은데요. 이는 다양한 변수를 가진 방정식에서 하나의 변수에만 주목하여 나머지 변수를 고정시킨 채 그 변수로 미분하는 편미분이라는 개념을 이해하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
예를 들어 변수가 두 개인 함수 $f(x, y)$에서 $y$를 상수로 보고 $x$로 미분한 함수를 $x$로 편미분한 함수$(∂f/∂x)$라고 합니다.
다시 슈뢰딩거 방정식으로 돌아가면 $∇^2$는 $∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2$를 나타내는 연산기호이며, $ℏ$는 플랑크 상수 $h$를 $2π$로 나눈 값을, $V(r)$은 거리 $r$에 대한 위치에너지의 고윳값을 나타냅니다.

고등학교 때 배운 내용으로는 슈뢰딩거 방정식이 의미하는 바를 이해하기는 어렵습니다.
하지만 슈뢰딩거 방정식이 기존에 배웠던 뉴턴의 운동방정식과 다른 성질을 가지고 있는 것은 확인할 수 있습니다.

단 한 개의 해만 구해졌던 뉴턴의 방정식과 다르게 슈뢰딩거 방정식은 여러 개의 해가 구해 지는데요. 이 해들은 각각 다른 전자의 파동함수를 의미합니다. 따라서 해를 구하기만 하면 현재의 상태와 앞으로 어떤 일이 일어날지를 정확히 예측할 수 있었던 고전역학에서의 뉴턴의 방정식과 다르게, 양자역학에서는 여러 해가 나타내는 서로 다른 에너지 중 하나의 에너지를 가질 것이며 이를 예측하기는 힘들다는 것을 알 수 있습니다.

슈뢰딩거 방정식은 해를 구하는 것뿐만 아니라 해를 해석하는 것도 중요한데요. 슈뢰딩거 방정식에서 볼 수 있는 $Ψ$(프사이)는 전자의 파동함수로서 그 자체로는 별다른 의미를 가지지 않지만, 이 값의 제곱 형태인 $Ψ^2$전자가 발견될 확률을 나타냅니다. 는 보통 sin 함수의 형태를 띠고 있는데 이를 제곱하면 치역이 0보다 큰 파동함수의 그래프를 나타내게 됩니다.

파동함수 개형

위의 오른쪽 그림에서 가로축과 함수 사이 부분의 넓이가 전자가 존재할 확률을 의미합니다. 따라서 당연히 이 면적들의 총합은 1이 됩니다.
이때 node라고 불리는 확률이 0이 되는 지점을 볼 수 있습니다. 여기에서 우리는 화학 시간에 배웠던 보어의 수소 원자 궤도 모형을 떠올려 볼 수 있는데요. 원자의 궤도 사이사이에는 전자가 존재할 수 없다는 것입니다. 이를 통해 나온 것이 ‘오비탈 orbital’이라는 개념인데요. 원자를 둘러싼 전자에 대한 슈뢰딩거의 파동함수 값을 ‘오비탈’이라고 합니다. 슈뢰딩거 방정식은 이렇게 전자가 양자화되어 있다는 것을 보여 주기도 합니다.

이렇게 이번 호에서는 슈뢰딩거 방정식에 대해 알아 보았는데요. 사실 고등학생의 입장에서 슈뢰딩거 방정식을 완전히 이해하는 것은 매우 어렵습니다.
하지만 양자역학을 공부하기 위해선 빼놓을 수 없는 방정식인 만큼 양자역학에 관심이 있는 친구들에게는 도움이 될 것 같습니다!

ALIMI 25기 화학공학과 김은진

항상 더 나은 내가 되도록 노력하는 알리미입니당!

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