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[2021 여름호] 다변수 다항식 나누기

  • POSTECHIAN
  • 2021-08-06 07:00:31

2021 SUMMER 마르쿠스

다변수 다항식 나누기
Multivariate Polynomial Division

$f(x)=x^3+2x^2-x+1$이 $(x+1)$로 나누어 떨어질까요?

다시 말하자면, $f(x)=(x+1)Q(x)$를 만족하는 다항식 $Q(x)$를 찾을 수 있나요?
아마도 중학교에서 이런 문제를 푸는 좋은 방법을 배웠을 것입니다. 단순히 나누는 것인데, $f(x)$를 $(x+1)$로 나누었을 때 나머지가 0이면 나누어 떨어지고, 0이 아니면 그렇지 않을 것입니다.
조금 더 문제를 확장하면, 주어진 다항식 $f(x)$, $g_1(x)$, …, $g_s(x)$에 대해서 $f(x)=q_1(x)g_1(x)+⋯+ q_s(x)g_s(x)$ 를 만족하는 다항식 $q_1(x)$, …, $q_s(x)$를 찾을 수 있을까요? 이번에는 $f(x)$를 $g_1(x)$, …, $g_s(x)$의 최대공약수로 나누어 봄으로써 문제를 해결할 수 있습니다. 이렇게 변수가 하나인 다항식에 대해서는 모든 문제를 풀 수 있습니다.
자연스럽게, 변수가 여러 개인 경우에는 어떻게 하면 될지 상상해볼 수 있는데요. 이 글에서는 다변수 다항식의 나눗셈에 대해서 생각해보려고 합니다!

위의 MARCUS 영상을 보고 다음 문제를 풀어보는 건 어떨까요?
Problem 1. $x > y$를 이용하여 $>_{glex}$를 다음과 같이 정의하자. $x^{a_1} y^{a_2} >_{glex} x^{b_1} y^{b_2}$라는 것은 $a_1 + a_2 > b_1 + b_2$이거나, 또는 $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$이고 $x > y$인 사전식 순서로 $x^{a_1} y^{a_2} > x^{b_1} y^{b_2}$이다. 예를 들어, $x^2 y^4 >_{grlex} x^2 y^2$이고 $x^3 y^2 >_{grlex} x^2 y^3$이다. $x > y$를 이용한 사전식 순서와 위의 순서에서 차수가 낮은 순으로 각각 10개의 단항식을 나열하여, 두 순서가 다름을 관찰해보자. 알려진 사실은 위의 순서는 Definition 1을 만족하고, 나눗셈했을 때 사전식 순서보다 계산 속도가 빠르다.

Problem 2. 글에서 나온 방법을 사용하여, $-4 x^2 y^2 z^2 + y^6 + 3 z^5$를 $x z - y^2$, $x^3 - z^2$의 배수로 나타낼 수 있는지 확인해보자.

☆ DEFINITIONS
Definition 1. $\mathbb{T}$를 $x_1$,…,$x_n$으로 이루어진 단항식의 집합이라고 하자. $\mathbb{T}$에 정의되는 순서 중에서 다음을 만족하는 것을 다변수다항식의 순서라고 정의한다.
(1) 어떤 단항식 두개를 가져와도 비교가 가능하다.
(2) 어떤 단항식으로부터 무한하게 차수를 줄여나갈 수는 없다.
(3) $x^a, x^b, x^c \in \mathbb{T}$에 대해서, $x^{a} < x^{b}$를 만족하면 $x^{a} x^{c} < x^{b} x^{c}$이다.
다음과 같이 $x,y,z$로 이루어진 단항식에 정의되는 사전식 순서는 위의 정의를 만족한다.
(* Definition 1에 대한 자세한 설명을 위해 MARCUS 영상을 확인하시거나, POSTECH 웹진 PDF 파일 54~55페이지 [바로가기]를 참고하세요!)

Definition 2. $x>y>z>$를 이용한 사전식 순서는, $(a_1,a_2,a_3)$와 $(b_1,b_2,b_3)$가 왼쪽부터 $i$번째에 처음으로 달라지고 $a_i>b_i$이면, $x^{a_1} y^{a_2} z^{a_3} > x^{b_1} y^{b_2} z^{b_3}$이다.


이번 호 문제는 2021년 8월 31일(화)까지 알리미 E-MAIL(postech-alimi@postech.ac.kr)로 풀이와 함께 답안을 보내주세요.
정답자가 많을 경우 간결하고 훌륭한 답안을 보내 주신 분들 중 추첨을 통하여 포스텍의 기념품을 보내 드립니다.
(학교/학년을 꼭 적어 주세요.)

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