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[2021 여름호] 2-밝혀지는 양자 세계, 기본 입자들의 물리적 특성

  • 노유성
  • 2021-07-23 07:02:18

2021 SUMMER 기획특집 2

밝혀지는 양자 세계, 기본 입자들의 물리적 특성

Muon g-2, The Crisis of Standard Model

 

과학자들은 기본 입자(elementary particle)들의 상호작용을 설명한 표준 모형(standard model)의 개념을 정립하는 것을 넘어,
각각의 입자들이 어떤 특성을 가지고 있는지에 대한 연구를 해왔습니다.
특히, 눈에 보이지 않는 아주 작은 세계에 대한 학문인 양자역학(quantum mechanics)을 도입함으로써 입자들의 수많은 물리 현상들을 해석하고 놀라운 발견을 할 수 있었다고 하는데요.
과연 기본 입자들은 어떤 물리적 특성을 가지고 있으며, 과학자들에게 어떤 놀라움을 가져왔을지,
지금부터 함께 알아봅시다!

스핀과 앙페르 법칙

앞서 양자역학에 의해, 입자가 실제 회전을 하지는 않지만, 회전하는 것과 동일한 물리적 특성을 가진다는 ‘스핀’ Spin에 대해 알아봤습니다. ‘단순히 팽이처럼 입자가 돈다는 것뿐인데 무슨 의미가 있는 걸까?’라고 생각할 수 있지만, 과학자들은 스핀을 통해서 입자들의 중요한 물리적 특성을 발견할 수 있었습니다. 스핀에서 파생되는 물리적 특성을 이해하기 위해서 먼저 앙페르 법칙 Ampere’s law에 대해 알아봅시다. 앙페르 법칙은 여러분에게 ‘오른손 법칙’으로 익숙할 텐데요. 오른손 엄지손가락이 가리키는 방향을 전류의 방향이라고 하면, 나머지 네 손가락이 감아지는 방향으로 자기장 Magnetic field이 형성된다는 법칙이죠. 조금 더 엄밀하게 수식으로 알아보면, 앙페르 법칙은 다음과 같이 설명됩니다.
$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0I$$

$C$ : 자기장이 존재하는 공간을 정의하는 폐곡선

$B$ : 폐곡선 $C$ 주위의 자기장

$\mu_0$ : 진공 상태에서의 투자율 (permeability)

$I$ : 폐곡선 $C$에 의해 둘러싸인 면을 통과하는 전류


어려워 보이는 수식이지만, 각 문자가 무엇을 의미하는지부터 천천히 알아봅시다. 먼저, $C$는 임의의 폐곡선으로, 시작 점과 끝점이 동일한 닫힌 곡선을 의미합니다. $\vec{B}$는 폐곡선 $C$ 주위의 자기장을 말합니다. $\mu_0$는 진공 상태에서의 투자율 Permeability을 나타내는데, 투자율이란 외부에서 자기장을 걸었을 때, 자기장 내의 매질이 얼마나 쉽게 자기 유도 Magnetic induction 또는 자화 Magnetization되는지 표현한 값입니다. 직관적으로는 자기장이 어떤 매질을 얼마나 잘 통과할 수 있는지를 나타낸 것으로 이해할 수 있습니다. 즉, 투자율은 매질에 따라 그 값이 달라지게 되는데, 진공 상태에서는 값에 영향을 줄 수 있는 물질이 없기 때문에 상수로 취급할 수 있으며, 실제 국제 단위계에서는 $4\pi×10^{-7} [H/m]$로 정의하고 있습니다. [각주1] 마지막으로 $I$는 폐곡선 $C$에 의해 둘러싸인 면을 통과하는 전류 Electric current입니다.그렇다면 이제 위 등식이 무엇을 의미하는지 더 쉽게 이해할 수 있도록 예시가 될 수 있는 그림과 함께 해석해 봅시다.

직선 도선에서의 앙페르 법칙

그림에서 보이듯 파란색으로 나타난 폐곡선인 원과 이 원을 통과하는 전류 $I$, 그리고 자기장 $B$가 존재하는 것을 알 수 있습니다. 이때, 폐곡선을 $C$라고 한다면, 선적분 Line Integral $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l}$은 자기장 $\vec{B}$와 폐곡선 $C$의 아주 작은 길이 요소인 $d\vec{l}$을 경로인 $C$를 따라 적분해 나간다는 것을 의미합니다. 이때, $d\vec{l}$ 과 $\vec{B}$의 방향은 평행하므로, $\vec{B}$와 $d\vec{l}$의 크기를 각각 $\mid{\vec{B}}\mid=B$, $\mid{d\vec{l}}\mid=dl$이라고 한다면,
$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} =\oint_C \mid{\vec{B}}\mid\mid{d\vec{l}}\mid cos⁡0°=\oint_C B dl=B\oint_C dl$$

과 같이 나타낼 수 있습니다. 이때, $C$의 반지름을 $r$이라고 한다면, $\oint_C dl$은 $C$의 아주 작은 요소인 $dl$을 $C$를 경로로 하여 연속적으로 더해 나간 값을 의미하므로 $C$의 둘레, 즉 $2\pi r$의 값을 가지게 됩니다. 따라서,
$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r)$$

이 되므로 위에서 언급한 앙페르 법칙의 식에 대입하고 정리하면,
$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r) = \mu_0 I$$ $$B= \frac{\mu_0I}{2\pi r}$$

라는 식을 얻을 수 있습니다. 즉, 전류에 의해서 자기장이 형성된다는, 여러분이 익히 알고 있을 전자기 유도 법칙 Faraday’s law of electromagnetic induction으로 연결되는 것입니다.

앙페르 법칙에 대해 더 자세히 알고 싶다면?

앙페르 법칙 더 알아보기

자기 쌍극자 모멘트

본격적으로 이를 전자의 스핀에 적용해 봅시다. 전하를 가지는 전자가 회전한다는 것은 전하가 회전한다는 것으로 볼 수 있습니다. 즉 스핀 방향에 따른 원형의 전류가 만들어지는 것이죠. 따라서 만들어진 전류에 의해 자기장이 발생하게 되며, 그 자기장 속에서 돌림힘 Torque[각주2]의 크기를 결정짓는 물리량을 자기 쌍극자 모멘트 Magnetic dipole moment라고 합니다.

전류 i가 흐르는 원형 도선에서의 자기 상극자 모멘트

그림에서 보이는 $i$를 전류, $A$를 반지름을 $r$로 가지는 원형 도선의 면적, 그리고 자기 쌍극자 모멘트의 크기를 $\mu$이라고 하면, $\mu= iA$라는 식이 성립하는데요. 이를 전하를 가진 입자에 대입해 보면 입자의 속도(velocity)를 $v$, 전하량 (electric charge)을 $q$라고 했을 때, 전류 $i=\frac {qv} {2\pi r}$이 성립합니다. 또한, $A$는 반지름이 $r$인 원의 넓이이므로 $A= \pi r^2$로 나타낼 수 있죠. 따라서 자기 쌍극자 모멘트 $\mu$는
$$\mu=iA=\frac {qv}{2\pi r} × \pi r^2=\frac{qvr}{2}$$

임을 알 수 있습니다. 이때, 입자가 회전함으로써 가지는 운동량, 즉 입자의 각운동량(angular momentum)을 $L$이라고 한다면, $L=mvr$ ($m$ : 입자의 질량)이므로, 자기 쌍극자 모멘트에 대해
$$μ=\frac{q} {2m} L$$

이라는 식을 유도해낼 수 있습니다. 이 식에 전자의 물리량을 대입한다면, 다음과 같이 전자의 자기 쌍극자 모멘트에 대한 식을 얻을 수 있게 됩니다.
$$\mu =\frac{e}{2m} S$$

$m$ : 전자의 질량

$e$ : 전자의 전하량

$S$ : 전자의 각운동량에 해당하는 스핀 각운동량


라머 세차운동과 g-상수, 그리고 폴 디랙의 계산

그러나, 조금 전 구한 전자의 자기 쌍극자 모멘트의 값은 정확하지 않았습니다. 전자는 양자 세계의 너무 작은 입자라는 점에서 고전 물리학의 이론인 각운동량을 완벽하게 적용하여 계산할 수 없었기 때문입니다. 이러한 차이를 보완하기 위해서, 전자의 자기 쌍극자 모멘트를 구했던 식인 $\mu= \frac{e}{2m}S$에 $g$라는 상수를 추가하여 값을 보정할 수 있도록 했습니다. 즉,
$$\mu= g \frac{e}{2m}S$$

라는 상대론적 양자역학에 의거한 관계식이 완성된 것이죠. 이때 추가된 $g$를 g-상수 g-factor라고 부르며 표준 모형의 기본 입자들을 대상으로 이를 정확히 계산하기 위한 노력이 시작됩니다. 전자처럼 전하를 가지는 입자가 자기장에 놓여있으면 마치 팽이가 멈춰갈 때처럼 한 축을 중심으로 돌게 되는데요. 이 현상을 바로 ‘라머 세차운동’ Larmor precession이라고 부릅니다.

라머의 세차운동

과학자들은 양자 세계의 입자들을 더 자세히 관찰하기 위해서 입자에 자기장을 걸어준 다음, 라머 세차운동에서 나타나는 입자에 대한 정보들로 g-상수를 예측해 나갔습니다. 이때, 자기 쌍극자 모멘트를 정의해온 과정에서 보이듯, 자기장과 전하량은 밀접한 관련이 있기 때문에 자연스레 입자의 전하량 $q$에 따라 g-상수의 값이 다를 것이라는 예측을 하게 됐습니다. 달리 말하면, 전하량이 같을 경우 g-상수의 값이 같을 것이라는 예측을 하게 된 셈이죠. 이에 대한 증거로, 폴 디랙이라는 과학자가 g-상수를 디랙 방정식 Dirac equation을 통해 계산한 결과, 같은 전하량을 가지는 전자와 뮤온 Muon의 g-상수가 2로 동일하다는 것을 밝혀내게 됩니다.


디랙 방정식에 대해 더 자세히 알고 싶다면?

디랙 방정식 더 알아보기



이렇게 기본 입자의 특성을 파악하기 위한 수많은 과학자의 노력으로 라머 세차운동과 같은 눈에 보이지 않는 세계의 현상들을 조금씩 밝힐 수 있게 됐습니다.
그런데 과연 이 현상들을 설명하기 위해 도입된 이론과 상수는 얼마나 정확할까요?
만약 오차가 있다면, 지금까지 표준 모형을 설명하기 위한 노력은 물거품이 되어버리는 걸까요?
최근, 바로 이런 의문점을 증폭시키는 새로운 힘과 입자의 존재 가능성을 시사하는 결정적인 실험이 진행되었다고 합니다.
인류가 가장 공들인 이론으로 불리는 표준 모형에 찾아온 위기,
다음 장에서 만나봅시다!


[각주]
[1] $H$는 자기장의 세기를 나타내는 기호로, 단위는 $[A/m]$이다. (흐르는 전류의 세기/도선과의 거리)
[2] 물체를 회전시키는 원인이 되는 물리량
[참고문헌]
1. “Orbit Magnetic Moment, Spin Magnetic Moment 원자 자기 모멘트, 궤도 전자 자기 모멘트, 궤도 자기 모멘트, 스핀 자기 모멘트,” 정보통신기술용어해설, 2020년 5월 31일 수정, 2021년 6월 11일 접속, http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4928.
2. “OpenStax,” Electricity and magnetism, last modified Nov 16. 2009, accessed Jun 11, 2021, https://cnx.org/contents/UBPo-xuY@13.12:yhWR6oud@8/Ampere-s-law.
3. George Ernest Owen, 「Introduction to Electromagnetic Theory」, 2003, 213-220.
4. Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche, 「Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts (Third Edition)」, 2002, 74-75.
5. A. S. Mahajan, Abbas A. Rangwala, 「Electricity and Magnetism」, 2007, 414-417.
6. “Electron spin g factor of Dirac equation,” last modified Jan 22, 2011, accessed Jun 12, 2021, http://www7b.biglobe.ne.jp/~kcy05t/diragfac.html.


기획특집 ③ - 표준 모형을 넘어선 새로운 물리학, 뮤온 g-2 실험 편으로 이어집니다.

기획특집 ③ 보기

ALIMI 26기 전자전기공학과 노유성

예비 포스테키안 여러분! 포스텍으로 향하는 걸음에 도움이 될 수 있도록 최선을 다하겠습니다 언제든 편하게 질문하세요 :)

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